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Implications over intuitionistic fuzzy sets

From Ifigenia, the wiki for intuitionistic fuzzy sets and generalized nets
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For the various definitions of implication of over intuitionistic fuzzy sets, the functions sg(x) and sg(x) have been used:

\text{sg}(x) = \begin{cases} 1  \text{ if } x > 0 \\
0 \text{ if } x \leq 0
\end{cases},   
\overline{\text{sg}}(x) = \begin{cases} 0 \text{ if } x > 0 \\
1 \text{ if } x \leq 0
\end{cases}.


List of implications

No. Ref. Year Implication:

{<x, Implication MEMBERSHIP expression, Implication NON-MEMBERSHIP expression >|x ∈ E}

No. Ref. Year Implication MEMBERSHIP expression
Implication NON-MEMBERSHIP expression
1 max(νA(x),min(μA(x),μB(x))) min(μA(x),νB(x))
2 sgA(x)-μB(x)) νB(x).sg(μA(x)-μB(x))
3 1-(1-μ(x)).sg(μA(x)-μB(x)) νB.sg(μA(x)-μB(x))
4 max(νA(x),μB(x)) min(μA(x),νB(x))
5 min(1,νA(x)+μB(x)) max(0,μA(x)+νB(x)-1)
6 νA(x)+μA(x)μB(x) μA(x)νB(x)
7 min(max(νA(x),μB(x)),max(μA(x),νA(x)), max(μB(x),νB(x))) max(min(μA(x),νB(x)), min(μA(x),νA(x)),min(μB(x),νB(x)))
8 1-(1-min(νA(x),μB(x))).sg(μA(x)-μB(x)) max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)-μB(x)),sg(νB(x)-νA(x))
9 νA(x)+μA(x)2μB(x) μA(x)νA(x)+μA(x)2νB(x)
10 μA(x).sg(1-μA(x))+sg(1-μA(x)).(sg(1-μB(x))+νA(x).sg(1-μB(x))) νB.sg(1-μA(x))+μA(x).sg(1-μA(x)).sg(1-μB(x))
11 1-(1-μB(x)).sg(μA(x)-μB(x)) νB(x).sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x))
12 max(νA(x),μB(x)) 1-max(νA(x),μB(x))
13 νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x) μA(x).νB(x)
14 1-(1-μB(x)).sg(μA(x)-μB(x))-νB(x).sgA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x)) νB(x).sg(νB(x)-νA(x))
15 1-sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x)) sg(sgA(x)-μB(x))+sgB(x)-νA(x)))
16 max(sgA(x)),μB(x)) min(sg(μA(x)),νB(x))
17 max(νA(x),μB(x)) min(μA(x).νA(x)+μA(x)2B(x))
18 max(νA(x),μB(x)) min(1-νA(x),νB(x))
19 max(1-sg(sg(μA(x))+sg(1-νA(x))),μB(x)) min(sg(1-νA(x)),νB(x))
20 max(sgA(x)),sg(μA(x)))) min(sg(μA(x)),sgB(x)))
21 max(νA(x),μB(x).(μB(x)+νB(x))) min(μA(x).(μA(x)+νA(x)),νB(x).(μB(x)2B(x)+μB(x).νB(x)))
22 max(νA(x),1-νB(x)) min(1-νA(x),νB(x))
23 1-min(sg(1-νA(x)),sg(1-νB(x))) min(sg(1-νA(x)),sg(1-νB(x)))
24 sgA(x)-μB(x)).sgB(x)-νA(x)) sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x))
25 max(νA(x),sgA(x)).sg(1-νA(x)),μB(x).sgB(x)).sg(1-μB(x))) min(μA(x),νB(x))
26 max(sg(1-νA(x)),μB(x)) min(sg(μA(x)),νB(x))
27 max(sg(1-νA(x)),sg(μB(x))) min(sg(μA(x)),sg(1-νB(x)))
28 max(sg(1-νA(x)),μB(x)) min(μA(x),νB(x))
29 max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))) min(μA(x),sg(1-νB(x)))
30 max(1-μA(x),min(μA(x),1-νB(x))) min(μA(x),νB(x))
31 sgA(x)+νB(x)-1) νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1)
32 1-νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1) νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1)
33 1-min(μA(x),νB(x)) min(μA(x),νB(x))
34 min(1,2-μA(x)-μB(x)) max(0,μA(x)+νB(x)-1)
35 1-μA(x).νB(x) μA(x).νB(x)
36 min(1-min(μA(x),νB(x)),max(μA(x),1-μA(x)),max(1-νB(x),νB(x))) max(min(μA(x),νB(x)),min(μA(x),1-μA(x)),min(1-νB(x),νB(x)))
37 1-max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)+νB(x)-1) max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)+νB(x)-1)
38 1-μA(x)+(μA(x)2.(1-νB(x))) μA(x)(1-μA(x))+μA(x)2B(x)
39 (1-νB(x)).sg(1-μA(x))+sg(1-μA(x)).(sgB(x))+(1-μA(x)).sg(νB(x))) νB(x).sg(1-μA(x))+μA(x).sg(1-μA(x)).sg(νB(x))
40 1-sg(μA(x)+νB(x)-1) 1-sgA(x)+νB(x)-1)
41 max(sgA(x)),1-νB(x)) min(sg(μA(x)),νB(x))
42 max(sgA(x)),sg(1-νB(x))) min(sg(μA(x)),sg(1-νB(x)))
43 max(sgA(x)),1-νB(x)) min(sg(μA(x)),νB(x))
44 max(sgA(x)),1-νB(x)) min(μA(x),νB(x))
45 max(sgA(x)),sgB(x))) min(μA(x),sg(1-νB(x)))
46 max(νA(x),min(1-νA(x),μB(x))) 1-max(νA(x),μB(x))
47 sg(1-νA(x)-μB(x)) (1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))
48 1-(1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x)) (1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))
49 min(1,νA(x)+μB(x)) max(0,1-νA(x)-μB(x))
50 νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x) 1-νA(x)-μB(x)+νA(x).μB(x)
51 min(max(νA(x),μB(x)),max(1-νA(x),νA(x)),max(μB(x),1-μB(x))) max(1-max(νA(x),μB(x)),min(1-νA(x),νA(x)),min(μB(x),1-μB(x)))
52 1-(1-min(νA(x),μB(x))).sg(1-νA(x)-μB(x)) 1-min(νA(x),μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))
53 νA(x)+(1-νA(x))2B(x) (1-νA(x)).νA(x)+(1-νA(x))2.(1-μB(x))
54 μB(x)sgA(x))+sg(νA(x)).(sg(1-μB(x))+νA(x).sg(1-μB(x))) (1-μB(x)).sgA(x))+(1-νA(x)).sg(νA(x)).sg(1-μB(x))
55 1-sg(1-νA(x)-μB(x)) 1-sg(1-νA(x)-μB(x))
56 max(sg(1-νA(x)),μB(x)) min(sg(1-νA(x)),1-μB(x))
57 max(sg(1-νA(x)),sg(μB(x))) min(sg(1-νA(x)),sgB(x)))
58 max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))) 1-max(νA(x),μB(x))
59 max(sg(1-νA(x)),μB(x)) 1-max(νA(x),μB(x))
60 max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))) min(1-νA(x),sgB(x)))
61 max(μB(x),min(νB(x),νA(x))) min(νB(x),μA(x))
62 sgB(x)-νA(x)) μA(x).sg(νB(x)-νA(x))
63 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x)) μA(x).sg(νB(x)-νA(x))
64 μB(x)+νB(x).νA(x) νB(x).μA(x)
65 1-(1-min(μB(x),νA(x))).sg(νB(x)-νA(x)) max(νB(x),μA(x)).sg(νB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x))
66 μB(x)+νB(x)2νA(x) νB(x).μB(x)+νB(x)2μA(x)
67 νA(x).sg(1-νB(x))+sg(1-νB(x)).(sg(1-νA(x))+μB(x).sg(1-νA(x))) μA(x).sg(1-νB(x))+νB(x).sg(1-νB(x)).sg(1-νA(x))
68 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x)) μA(x).sg(νB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x))
69 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x))-μA(x).sgB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x)) μA(x).sg(μA(x)-μB(x))
70 max(sg((νB(x)),νA(x)) min(sg(νB(x)),μA(x))
71 max(μB(x),νA(x)) min(νB(x).μB(x)+νB(x)2A(x))
72 max(μB(x),νA(x)) min(1-μB(x),μA(x))
73 max(1-max(sg(νB(x)),sg(1-μB(x))),νA(x)) min(sg(1-μB(x)),μA(x))
74 max(sgB(x)),sg(νA(x))) min(sg(νB(x)),sgA(x)))
75 max(μB(x),νA(x).(νA(x)+μA(x))) min(νB(x).(νB(x)+μB(x)),μA(x).(νA(x)2A(x))+νA(x).μA(x))
76 max(μB(x),1-μA(x)) min(1-μB(x),μA(x))
77 1-min(sg(1-μB(x)),sg(1-μA(x))) min(sg(1-μB(x)),sg(1-μA(x)))
78 max(sg(1-μB(x)),νA(x)) min(sg(νB(x)),μA(x))
80 max(sg(1-μB(x)),νA(x)) min(νB(x),μA(x))
81 max(sg(1-μB(x)),sg(1-νA(x))) min(νB(x),sg(1-μA(x)))
82 max(1-νB(x),min(νB(x),1-μA(x))) min(νB(x),μA(x))
83 sgB(x)+μA(x)-1) μA(x).sg(νB(x)+μA(x)-1)
84 1-μA(x).sg(νB(x)+μA(x)+1) μA(x).sg(νB(x)+μA(x)+1)
85 1-νB(x)+νB(x)2.(1-μA(x)) νB(x).(1-νB(x))+νB(x)2
86 (1-μA(x)).sg(1-νB(x))+sg(1-νB(x))sgA(x)+min(1-νB(x),sg(μA(x)))) μA(x).sg(1-νB(x))+νB(x).sg(1-νB(x)).sg(μA(x))
87 max(sgB(x)),1-μA(x)) min(sg(νB(x)),μA(x))
88 max(sgB(x)),sg(1-μA(x))) min(sg(νB(x)),sg(1-μA(x)))
89 max(sgB(x)),1-μA(x)) min(νB(x),μA(x))
90 max(sgB(x)),sgA(x))) min(νB(x),sg(1-μA(x)))
91 max(μB(x),min(1-μB(x),νA(x))) 1-max(μB(x),νA(x))
92 sg(1-μB(x)-νA(x)) min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x)))
93 1-min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x))) min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x)))
94 μB(x)+(1-μB(x))2A(x)) (1-μB(x)).μB(x)+(1-μB(x))2.(1-νA(x))
95 min(νA(x),sgB(x)))+sg(μB(x)).(sg(1-νA(x))+min(μB(x),sg(1-νA(x)))) min(1-νA(x),sgB(x)))+min(min(1-μB(x),sg(μB(x))),sg(1-νA(x)))
96 max(sg(1-μB(x)),νA(x)) min(sg(1-μB(x)),1-νA(x)
97 max(sg(1-μB(x)),sg(νA(x))) min(sg(1-μB(x)),sgA(x)))
98 max(sg(1-μB(x)),νA(x)) 1-max(μB(x),νA(x))
99 max(sg(1-μB(x)),sg(1-νA(x))) min(1-μB(x),sgA(x)))
100 max(min(νA(x),sg(μA(x))),μB(x)) min(min(μA(x),sg(νA(x))),νB(x))
101 max(min(νA(x),sg(μA(x))),min(μB(x),sg(νB(x)))) min(min(μA(x),sg(νA(x))),min(νB(x),sg(μB(x))))
102 max(νA(x),min(μB(x),sg(νB(x)))) min(μA(x),min(νB(x),sg(μB(x))))
103 max(min(1-μA(x),sg(μA(x))),1-νB(x)) min(μA(x),sg(1-μA(x)),νB(x))
104 max(min(1-μA(x),sg(μA(x))),min(1-νB(x),sg(νB(x)))) min(min(μA(x),sg(1-μA(x))),min(νB(x),sg(1-νB(x))))
105 max(1-μA(x),min(1-νB(x),sg(νB(x)))) min(μA(x),min(νB(x),sg(1-νB(x))))
106 max(min(νA(x),sg(1-νA(x))),μB(x)) min(min(1-νA(x),sg(νA(x))),1-μB(x))
107 max(min(νA(x),sg(1-νA(x))),min(μB(x),sg(1-μB(x)))) min(min(1-νA(x),sg(νA(x))),min(1-μB(x),sg(μB(x))))
108 max(νA(x),min(μB(x),sg(1-μB(x)))) min(1-νA(x),min(1-μB(x),sg(μB(x))))
109 νA(x)+min(sg(1-μA(x)),μB(x)) μA(x).νA(x)+min(sg(1-μA(x)),νB(x))
110 max(νA(x),μB(x)) min(μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)),νB(x))
111 max(νA(x),μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x))) min(μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)),νB(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x)))+sg(1-νB(x)))
112 νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x) μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)).νB(x)
113 νA(x)+(μB(x).νB(x)-νA(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x))) A(x).νA(x)+sg(1-μA(x))).(νB(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x)))+sg(1-νB(x)))
114 1-μA(x)+min(sg(1-μA(x)),1-νB(x)) μA(x).(1-μA(x))+min(sg(1-μA(x)),νB(x))
115 1-min(μA(x),νB(x)) min(μA(x)(1-μA(x))+sg(1-μA(x)),νB(x))
116 max(1-μA(x),(1-νB(x)).νB(x)+sgB(x))) min(μA(x).(1-μA(x))+sg(1-μA(x)),νB(x).((1-νB(x)).νB(x)+sgB(x)))+sg(1-νB(x)))
117 1-μA(x)-νB(x)+μA(x).νB(x) A(x).(1-μA(x))+sg(1-μA(x))).νB(x)
118 (1-μA(x)).sg(νB(x))+μA(x).νB(x).(1-νB(x)) A(x)-μA(x)2+sg(1-μA(x))).((1-νB(x)).νB(x)2+sg(1-νB(x)))+sg(1-νB(x))(x))
119 νA(x)+min(sgA(x)),μB(x)) (1-νA(x)).νA(x)+min(sgA(x)),1-μB(x))
120 max(νA(x),μB(x)) min((1-νA(x)).νA(x)+sgA(x)),1-μB(x))
121 max(νA(x),μB(x).(1-μB(x))+sg(1-μB(x))) min((1-νA(x)).νA(x)+sgA(x)),(1-μB(x)).(μB(x).(1-μB(x))+sg(1-μB(x)))+sgB(x)))
122 νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x) ((1-νA(x)).νA(x)+sgA(x))).(1-μB(x))
123 νA(x)+μB(x).(1-μB(x)-νA(x).(μB(x).(1-μB(x))+sg(1-μB(x))) ((1-νA(x)).νA(x)+sgA(x))).(((1-μB(x)).(μB(x).(1-μB(x))+sg(1-μB(x))))+sgB(x)))
124 μB(x)+min(sg(1-νB(x)),νA(x)) νB(x).μB(x)+min(sg(1-νB(x)),μA(x))
125 max(μB(x),νA(x)) min(νB(x).μB(x)+sg(1-νB(x)),μA(x))
126 max(μB(x),νA(x).μA(x)+sg(1-νA(x))) min(νB(x).μB(x)+sg(1-νB(x)),μA(x).(νA(x).μA(x)+sg(1-νA(x)))+sg(1-μA(x)))
127 μB(x)+νA(x)-μB(x).νA(x) B(x).μB(x)+sg(1-νB(x))).μA(x)
128 μB(x)+νA(x).μA(x)-μB(x).(νA(x).μA(x)+sg(1-νA(x))) B(x).μB(x)+sg(1-νB(x))).(μA(x).(νA(x).μA(x)+sg(1-νA(x)))+sg(1-μA(x)))
129 1-νB(x)+min(sg(1-νB(x)),1-μA(x)) νB(x).(1-νB(x))+min(sg(1-νB(x)),μA(x))
130 1-min(νB(x),μA(x)) min(νB(x).(1-νB(x))+sg(1-νB(x)),μA(x))
131 max(1-νB(x),(1-μA(x)).μA(x)+sgA(x))) min(νB(x).(1-νB(x))+sg(1-νB(x)),μA(x).((1-μA(x)).μA(x)+sgA(x)))+sg(1-μA(x)))
132 1-μA(x).νB(x) B(x).(1-νB(x))+sg(1-νB(x))).μA(x)
133 1-νB(x)+(1-μA(x)).μA(x)-(1-νB(x)).((1-μA(x)).μA(x)+sgA(x))) B(x).(1-νB(x))+sg(1-νB(x))).(μA(x).((1-μA(x)).μA(x)+sgA(x)))+sg(1-μA(x)))
134 μB(x)+min(sgB(x)),νA(x)) (1-μB(x)).μB(x)+min(sgB(x)),1-νA(x))
135 max(μB(x),νA(x)) min((1-μB(x)).μB(x)+sgB(x)),1-νA(x))
136 max(μB(x),νA(x).(1-νA(x))+sg(1-νA(x))) min((1-μB(x)).μB(x)+sgB(x)),(1-νA(x)).(νA(x).(1-νA(x))+sg(1-νA(x)))+sgA(x)))
137 μB(x)+νA(x)-μB(x).νA(x) ((1-μB(x)).μB(x)+sgB(x))).(1-νA(x))
138 μB(x)+νA(x).(1-νA(x))-μB(x).

((1-μB(x)).μB(x)+sgB(x))).(1-νA(x).(νA(x).(1-νA(x)) + sg(1-νA(x)) + sgA(x))

139 A(x) + μB(x))/2 A(x) + νB(x))/2
140 A(x) + μB(x) + min(νA(x), μB(x)))/3 A(x) + νB(x) + max(μA(x), νB(x)))/3
141 A(x) + μB(x) + max(νA(x), μB(x)))/3 A(x) + νB(x) + min(μA(x), νB(x)))/3
142 (3 - μA(x) - νB(x) - max(μA(x), νB(x)))/3 A(x) + νB(x) + max(μA(x), νB(x)))/3
143 (1 - μA(x) + μb(x) + min(1 - μA(x), μB(x)) )/3 (2 + μA(x) - μB(x) - min(1 - μA(x), μB(x)))/3
144 (1 + νA(x) - νb(x) + min(νA(x), 1 - νB(x)) )/3 (2 - νA(x) + νB(x) + min(νA(x), 1 - νB(x)))/3
145 A(x) + μB(x) + min(νA(x), μB(x)))/3 (3 - νA(x) - μB(x) - min(νA(x), μB(x)))/3
146 (3 - μA(x) - νB(x) - min(μA(x), νB(x)))/3 A(x) + νB(x) + min(μA(x), νB(x)))/3
147 (1 - μA(x) + μb(x) + max(1 - μA(x), μB(x)) )/3 (2 + μA(x) - μb(x) - max(1 - μA(x), μB(x)) )/3


References

See also

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